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''数学''
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*対数の特徴 [#x89cd4d8]
log(M*N) = log(M) + log(N)
log(M/N) = log(M) - log(N)
log(M^p) = p * log(M)
底の変換公式
log(a)b = log(c)b/ log(c)a
(a,b,c が正の数で、a != 1, c != 1)
*ド・モルガンの法則 [#mb8fdc89]
!(A | B | C) = !A & !B & !C
!(A & B & C) = !A | !B | !C
(| : 論理和, & : 論理積, ! : 否定 とする。)
*等差数列 [#n8a69121]
どの隣り合う2つの項も“共通して一定な”差（common differenc...
例
(1, 2, 3, 4, 5)
(2, 5, 8, 11, 14)
初項 a，項数 n，末項 e の等差数列の初項から第 n 項までの...
Sn = n(a + e) / 2
この式に、初項 1。末項 n。項数 n をあてはめると、1 から ...
和の公式 n(n + 1) /2
を得ることができる。
*等比数列 [#c591022a]
数列で、隣り合う二項の比が項番号によらず一定であるような...
その比のことを公比（こうひ、英:common ratio）といい、記号...
例
(4, 12, 36, 108)
初項 a, 項数 n, 項比 r の等比数列の初項から第 n 項までの...
r != 1 ならば、
Sn = a(1-r^n) / (1-r)
r == 1 ならば、
Sn = na
[証明]
Sn = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + … + ar^(n-1)
両辺に r をかけると
rSn = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + … + ar^(n-1) + ar^n
最初の式から2番目の式を引くと
Sn -rSn = a - ar^n
式を変形
Sn(1-r) = a(1 - r^n)
Sn = a(1 - r^n) / (1 -r)
となる。
*数字根 [#d2490b6b]
数字根(すうじこん)とは、数値を各桁に分解して足し、足した...
例えば 56 ならば、
5 + 6 = 11
10以上の場合さらに各桁を足し、1桁の数値を求める。
1 + 1 = 2
つまり、56の数字根は2になる。
数字根を効率的に求めるには、各桁の数値を足すさいに、9と足...
例:
95421 の数字根を求める。
9 + 5 + 4 + 2 + 1
この式から、
9と、足して 9 になる部分を除外する。
先頭の9 と、5 + 4 のペアは9になるので除外し、2 + 1 だけ...
よって、数字根は3。
*九去法 [#pb20a09c]
数字根を使って、加算や乗算結果を簡単に検算する方法。~
九去法という名称は、数字根を求める計算過程で 9 を無視する...
**加算 [#u7fbbb96]
以下の計算結果が正しいかチェックする。
12 + 34 + 56 = 102
各項の数字根を求める。
12 => 3
34 => 7
56 => 2
これらの数値の和から、さらに数字根を求める。
3 + 7 + 2 = 12 => 3
計算結果の 102の数字根を求める。
102 => 3
計算が正しければ、2つの数値は一致する。
**乗算 [#v85d88ac]
以下の計算結果が正しいかチェックする。
12 * 34 * 56 = 22848
各項の数字根を求める。
12 => 3
34 => 7
56 => 2
これらの数値の積から、さらに数字根を求める。
3 * 7 * 2 = 42 => 6
計算結果の 22848の数字根を求める。
22848 => 6
計算が正しければ、2つの数値は一致する。
*素数 [#s339ef3d]
**エラトステネスの篩（ふるい） [#h26e3da4]
1からn までの範囲の素数を求める。~
1は素数ではないので除き、2から n まで順番に数を並べた数値...
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11....n （これを探索リストとする。）
まず、探索リスト最初の数値を素数のリストに加える。~
そして、その素数の倍数を探索リストから取り除いていく。
素数リスト：2
探索リスト：3,5,7,9,11....n
探索リストから、素数の倍数を取り除いたら、残っている最初...
素数リスト：2,3
探索リスト：5,7,11....n
今、素数リストに p を加え、探索リストから 素数 p の倍数を...
探索リストの先頭の p を除けば、2p, 3p, 4p と取り除くこと...
m < p とした場合、m * p は mの倍数だから、すでに取り除か...
よって、この時点で探索リストに残る数値 p * p 未満までは、...
とりのぞく必要がるのは、p*p 以上の数値となる。(探索リスト...
よって 「探索リストの最大値が素数リストの最大値の平方より...
n以下の素数表を作る場合、nの平方根以下の素数についてのみ...
例えば、nを24として、5を素数リストに加えて、5の倍数を探索...
素数リスト：2 3 5
探索リスト：7 11 13 17 19 21 23
この時点で、5^2 = 25 が、探索リストに残る最大値 23 より大...
探索リストに残るのは全て素数である。
**素数は無限にある。 [#r0fd3b44]
''ユークリッドによる証明''~
背理法による。~
素数は有限個しかないと仮定して、~
2, 3, 5, 7 ...... P(最大の素数) とする。~
全ての素数を掛け合わせて、1を足した数を Q とする。~
Q = 2 × 3 × 5 × 7 × .... × P + 1~
Q は合成数であるか素数であるかのいずれかである。~
(合成数とは、2つ以上の素数の積で表すことのできる自然数)~
Q が合成数だとすると Q は 素数のいずれかを用いて積の形に...
その一方で Q は 素数 のいずれで割っても 1 があまり、矛盾...
素数だとすると、これは 素数 のいずれとも異なるから素数が...
*基数変換 [#ced6211f]
**k進数から、10進数への変換 [#pce517c6]
それぞれの、n桁目に、k^(n-1) をかける。~
4桁目 * k^3
3桁目 * k^2
2桁目 * k (k^1 = k)
1桁目 * 1 (k^0 = 1)
-1桁目 * k^-1 (k^-1 = 1/k)
-2桁目 * k^-2
***2進数から、10進数への変換 [#t3e5a304]
例:10110~
2^5 + 2^3 + 2^2
***16進数から、10進数への変換 [#zb9d1e60]
例:AB.B2~
(A * 16^1) + (B * 1) + (B * 1/16) + (2 * 1/(16^2))
=(11 * 16^1) + (12 * 1) + (12 * 1/16) + (2 * 1/(16^2))
※ヒント
16 の累乗を計算するのは時間がかかるため、2の乗数に変換し...
(16 = 2^4 であるため。）
16^3 = (2^4)^3 = 2^12 = 4096
**10進数から、k進数への変換 [#r9c6bd7a]
***整数 [#yce2324e]
A / k = x1 --- y1
x1 / k = x2 --- y2
x2 / k = x3 --- y3
x3 / k = 0 --- y4 ↑下から並べる。
(↑ 0になるまで繰り返す。)
(y4) (y3) (y2) (y1) と並べた値が答え。
10進数から 16進数への変換 などでは、y の値は 0～15 にな...
***小数(方法1) [#m46682c2]
例:0.8125 を2進数に変換する。
0.8125 * 2 = 1.625
(↓小数部のみを 持ち越す)
0.625 * 2 = 1.25
0.25 * 2 = 0.5
0.50 * 2 = 1.0 ↓整数部を上から並べる。
(↑小数部が0になるまで繰り返す。）
答え： 0.1101
***小数(方法2, ただし 2,8,16 進数の場合のみ） [#t78e8600]
整数部は、上の方法で変換。
小数部は、分数に変更する。
例:0.8125 を 2進数へ変換する。
分数にする。8125/10000
通分して 13/16
8/16 + 4/16 +1/16 に展開。
これを2進数に変換して
0.1101
(8進数、16進数の場合は、以下の方法でさらに変更。)
**2進数と、8進数, 16進数 の相互変換 [#b469d9ac]
これらは、相性がよく効率よく変換できる。
(ただし、16進数と8進数の相互変換は、特に効率的な方法はな...
***2進数から、8進数への変換 [#i5e22092]
例:10101.00101
3桁ずつに区切る。
10 101.001 010 (←最後の足りない0は補う！
2 5. 1 2
= 25.12
***2進数から、16進数への変換 [#t4e8f450]
例:10101. 001011
4桁ずつに区切る。
1 0101. 0010 1100 (←最後の足りない0は補う！
1 5. 2 C
15.2C
***16進数から、2進数への変換 [#p0f0c0f0]
例:AB.CD
各桁を4桁に変換
AB.CD
1010 1011. 1100 1101
***8進数から、2進数への変換 [#zc478d47]
例:27.24
各桁を3桁に変換
27.24
010 111.010 100
*待ち行列理論(M/M/1モデル) [#e234bcef]
待ち行列理論のモデルはケンドール記号によって以下のように...
到着分布 / サービス時間分布 / 窓口の数(行列の長さ制限)
ここでは、M/M/1(∞)について表記する。
:到着分布 M|ランダムに到着(ポアソン分布)
:サービス時間分布 M|1人の客がサービスを受ける時間はバラバ...
:窓口の数 1|サービスを行う窓口は1つ
:行列長 ∞|待ち行列長は十分長くあふれることはない。
**平均到着率 [#l78df8ae]
単位時間当たりに到着するトランザクション数。記号λ(ラムダ)...
**平均到着間隔 [#sb8b6c0c]
前のトランザクションから、次のトランザクションまでの平均...
平均到着間隔 = (1 / 平均到着率) = (1/λ)
**平均サービス率 [#tcc39ccd]
単位時間当たりにサービス可能なトランザクション数。記号μ(...
**平均サービス時間 [#v76d0bea]
1トランザクションがサービスを受ける平均時間。
平均サービス時間 = (1/平均サービス率) = (1/μ)
**利用率(トラフィック密度) [#j1011908]
単位時間に窓口を利用している割合。記号ρ(ロー)で表す。
利用率(ρ) = (平均サービス時間 / 平均到着間隔) = (平均到...
**平均待ち時間 [#lca5148c]
サービスを受けるまでの待ち時間
平均待ち時間(Wq) = ρ/(1-ρ) * 平均サービス時間
**平均応答時間 [#je5f4aa4]
サービスを受ける時間を含めた全処理時間
平均応答時間(Ww) = 平均待ち時間 + 平均サービス時間
= ρ/(1-ρ) * 平均サービス時間 + 平均サー...
= 1/(1-ρ) * 平均サービス時間
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*対数の特徴 [#x89cd4d8]
log(M*N) = log(M) + log(N)
log(M/N) = log(M) - log(N)
log(M^p) = p * log(M)
底の変換公式
log(a)b = log(c)b/ log(c)a
(a,b,c が正の数で、a != 1, c != 1)
*ド・モルガンの法則 [#mb8fdc89]
!(A | B | C) = !A & !B & !C
!(A & B & C) = !A | !B | !C
(| : 論理和, & : 論理積, ! : 否定 とする。)
*等差数列 [#n8a69121]
どの隣り合う2つの項も“共通して一定な”差（common differenc...
例
(1, 2, 3, 4, 5)
(2, 5, 8, 11, 14)
初項 a，項数 n，末項 e の等差数列の初項から第 n 項までの...
Sn = n(a + e) / 2
この式に、初項 1。末項 n。項数 n をあてはめると、1 から ...
和の公式 n(n + 1) /2
を得ることができる。
*等比数列 [#c591022a]
数列で、隣り合う二項の比が項番号によらず一定であるような...
その比のことを公比（こうひ、英:common ratio）といい、記号...
例
(4, 12, 36, 108)
初項 a, 項数 n, 項比 r の等比数列の初項から第 n 項までの...
r != 1 ならば、
Sn = a(1-r^n) / (1-r)
r == 1 ならば、
Sn = na
[証明]
Sn = a + ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + … + ar^(n-1)
両辺に r をかけると
rSn = ar + ar^2 + ar^3 + ar^4 + … + ar^(n-1) + ar^n
最初の式から2番目の式を引くと
Sn -rSn = a - ar^n
式を変形
Sn(1-r) = a(1 - r^n)
Sn = a(1 - r^n) / (1 -r)
となる。
*数字根 [#d2490b6b]
数字根(すうじこん)とは、数値を各桁に分解して足し、足した...
例えば 56 ならば、
5 + 6 = 11
10以上の場合さらに各桁を足し、1桁の数値を求める。
1 + 1 = 2
つまり、56の数字根は2になる。
数字根を効率的に求めるには、各桁の数値を足すさいに、9と足...
例:
95421 の数字根を求める。
9 + 5 + 4 + 2 + 1
この式から、
9と、足して 9 になる部分を除外する。
先頭の9 と、5 + 4 のペアは9になるので除外し、2 + 1 だけ...
よって、数字根は3。
*九去法 [#pb20a09c]
数字根を使って、加算や乗算結果を簡単に検算する方法。~
九去法という名称は、数字根を求める計算過程で 9 を無視する...
**加算 [#u7fbbb96]
以下の計算結果が正しいかチェックする。
12 + 34 + 56 = 102
各項の数字根を求める。
12 => 3
34 => 7
56 => 2
これらの数値の和から、さらに数字根を求める。
3 + 7 + 2 = 12 => 3
計算結果の 102の数字根を求める。
102 => 3
計算が正しければ、2つの数値は一致する。
**乗算 [#v85d88ac]
以下の計算結果が正しいかチェックする。
12 * 34 * 56 = 22848
各項の数字根を求める。
12 => 3
34 => 7
56 => 2
これらの数値の積から、さらに数字根を求める。
3 * 7 * 2 = 42 => 6
計算結果の 22848の数字根を求める。
22848 => 6
計算が正しければ、2つの数値は一致する。
*素数 [#s339ef3d]
**エラトステネスの篩（ふるい） [#h26e3da4]
1からn までの範囲の素数を求める。~
1は素数ではないので除き、2から n まで順番に数を並べた数値...
2,3,4,5,6,7,8,9,10,11....n （これを探索リストとする。）
まず、探索リスト最初の数値を素数のリストに加える。~
そして、その素数の倍数を探索リストから取り除いていく。
素数リスト：2
探索リスト：3,5,7,9,11....n
探索リストから、素数の倍数を取り除いたら、残っている最初...
素数リスト：2,3
探索リスト：5,7,11....n
今、素数リストに p を加え、探索リストから 素数 p の倍数を...
探索リストの先頭の p を除けば、2p, 3p, 4p と取り除くこと...
m < p とした場合、m * p は mの倍数だから、すでに取り除か...
よって、この時点で探索リストに残る数値 p * p 未満までは、...
とりのぞく必要がるのは、p*p 以上の数値となる。(探索リスト...
よって 「探索リストの最大値が素数リストの最大値の平方より...
n以下の素数表を作る場合、nの平方根以下の素数についてのみ...
例えば、nを24として、5を素数リストに加えて、5の倍数を探索...
素数リスト：2 3 5
探索リスト：7 11 13 17 19 21 23
この時点で、5^2 = 25 が、探索リストに残る最大値 23 より大...
探索リストに残るのは全て素数である。
**素数は無限にある。 [#r0fd3b44]
''ユークリッドによる証明''~
背理法による。~
素数は有限個しかないと仮定して、~
2, 3, 5, 7 ...... P(最大の素数) とする。~
全ての素数を掛け合わせて、1を足した数を Q とする。~
Q = 2 × 3 × 5 × 7 × .... × P + 1~
Q は合成数であるか素数であるかのいずれかである。~
(合成数とは、2つ以上の素数の積で表すことのできる自然数)~
Q が合成数だとすると Q は 素数のいずれかを用いて積の形に...
その一方で Q は 素数 のいずれで割っても 1 があまり、矛盾...
素数だとすると、これは 素数 のいずれとも異なるから素数が...
*基数変換 [#ced6211f]
**k進数から、10進数への変換 [#pce517c6]
それぞれの、n桁目に、k^(n-1) をかける。~
4桁目 * k^3
3桁目 * k^2
2桁目 * k (k^1 = k)
1桁目 * 1 (k^0 = 1)
-1桁目 * k^-1 (k^-1 = 1/k)
-2桁目 * k^-2
***2進数から、10進数への変換 [#t3e5a304]
例:10110~
2^5 + 2^3 + 2^2
***16進数から、10進数への変換 [#zb9d1e60]
例:AB.B2~
(A * 16^1) + (B * 1) + (B * 1/16) + (2 * 1/(16^2))
=(11 * 16^1) + (12 * 1) + (12 * 1/16) + (2 * 1/(16^2))
※ヒント
16 の累乗を計算するのは時間がかかるため、2の乗数に変換し...
(16 = 2^4 であるため。）
16^3 = (2^4)^3 = 2^12 = 4096
**10進数から、k進数への変換 [#r9c6bd7a]
***整数 [#yce2324e]
A / k = x1 --- y1
x1 / k = x2 --- y2
x2 / k = x3 --- y3
x3 / k = 0 --- y4 ↑下から並べる。
(↑ 0になるまで繰り返す。)
(y4) (y3) (y2) (y1) と並べた値が答え。
10進数から 16進数への変換 などでは、y の値は 0～15 にな...
***小数(方法1) [#m46682c2]
例:0.8125 を2進数に変換する。
0.8125 * 2 = 1.625
(↓小数部のみを 持ち越す)
0.625 * 2 = 1.25
0.25 * 2 = 0.5
0.50 * 2 = 1.0 ↓整数部を上から並べる。
(↑小数部が0になるまで繰り返す。）
答え： 0.1101
***小数(方法2, ただし 2,8,16 進数の場合のみ） [#t78e8600]
整数部は、上の方法で変換。
小数部は、分数に変更する。
例:0.8125 を 2進数へ変換する。
分数にする。8125/10000
通分して 13/16
8/16 + 4/16 +1/16 に展開。
これを2進数に変換して
0.1101
(8進数、16進数の場合は、以下の方法でさらに変更。)
**2進数と、8進数, 16進数 の相互変換 [#b469d9ac]
これらは、相性がよく効率よく変換できる。
(ただし、16進数と8進数の相互変換は、特に効率的な方法はな...
***2進数から、8進数への変換 [#i5e22092]
例:10101.00101
3桁ずつに区切る。
10 101.001 010 (←最後の足りない0は補う！
2 5. 1 2
= 25.12
***2進数から、16進数への変換 [#t4e8f450]
例:10101. 001011
4桁ずつに区切る。
1 0101. 0010 1100 (←最後の足りない0は補う！
1 5. 2 C
15.2C
***16進数から、2進数への変換 [#p0f0c0f0]
例:AB.CD
各桁を4桁に変換
AB.CD
1010 1011. 1100 1101
***8進数から、2進数への変換 [#zc478d47]
例:27.24
各桁を3桁に変換
27.24
010 111.010 100
*待ち行列理論(M/M/1モデル) [#e234bcef]
待ち行列理論のモデルはケンドール記号によって以下のように...
到着分布 / サービス時間分布 / 窓口の数(行列の長さ制限)
ここでは、M/M/1(∞)について表記する。
:到着分布 M|ランダムに到着(ポアソン分布)
:サービス時間分布 M|1人の客がサービスを受ける時間はバラバ...
:窓口の数 1|サービスを行う窓口は1つ
:行列長 ∞|待ち行列長は十分長くあふれることはない。
**平均到着率 [#l78df8ae]
単位時間当たりに到着するトランザクション数。記号λ(ラムダ)...
**平均到着間隔 [#sb8b6c0c]
前のトランザクションから、次のトランザクションまでの平均...
平均到着間隔 = (1 / 平均到着率) = (1/λ)
**平均サービス率 [#tcc39ccd]
単位時間当たりにサービス可能なトランザクション数。記号μ(...
**平均サービス時間 [#v76d0bea]
1トランザクションがサービスを受ける平均時間。
平均サービス時間 = (1/平均サービス率) = (1/μ)
**利用率(トラフィック密度) [#j1011908]
単位時間に窓口を利用している割合。記号ρ(ロー)で表す。
利用率(ρ) = (平均サービス時間 / 平均到着間隔) = (平均到...
**平均待ち時間 [#lca5148c]
サービスを受けるまでの待ち時間
平均待ち時間(Wq) = ρ/(1-ρ) * 平均サービス時間
**平均応答時間 [#je5f4aa4]
サービスを受ける時間を含めた全処理時間
平均応答時間(Ww) = 平均待ち時間 + 平均サービス時間
= ρ/(1-ρ) * 平均サービス時間 + 平均サー...
= 1/(1-ρ) * 平均サービス時間
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